一根药材的 58 小时，两个时间尺度的赛跑：2026 国赛 A 题全复盘

开场：二周目玩家入场

去年，我写了《一层薄膜的厚度，一束光的往返》，复盘 2025 年 B 题的碳化硅红外测厚。那篇文章的反思区里有七条「如果重来」——现在，它们成了我带进赛场的攻略笔记。

是的，我又来了。

	2025 · B 题（一周目）	2026 · A 题（二周目）
物理对象	SiC 外延层上的红外干涉光谱	圆柱药材里的热传导与水分扩散
问题性质	逆问题：从条纹反演厚度	正问题：把 PDE 往前推，推到达标为止
核心难点	参数简并（ $m$ 与 $n$ 纠缠）	时间尺度悬殊（热快湿慢，差 34 倍）+ 移动边界
交付物	一个厚度数字（μm 级）	一个烘干时间（小时级）+ 全程时空分布
最大的坑	材料参数张冠李戴，错误互相抵消	经验公式少看一条分数线（后文详谈）

如果说去年是「从一束光里读出一个数」，今年就是「陪一根药材走完它的一生」——从 28 °C、含水率 2.55 kg/kg 的鲜药材，到 57.93 小时后全身各处都干燥合格的成品。这篇文章会认真讲 A 题本身：模型怎么建、求解器怎么写、答案怎么验证；然后是那个差点让我们团灭的 bug；最后聊聊一个去年还不存在、今年被组委会正式写进规则的东西——AI 工具使用声明。

题目思考：这题到底在问什么

背景：一根药材的脱水之旅

中药材采下来不能直接进药房，得先烘干——含水量太高会霉变，烘过头了又破坏有效成分。工业上靠热风对流干燥：热风把热量吹进药材，水分再从内部迁移到表面被气流带走。工艺参数长期靠老师傅的经验和反复试烘，成本高、周期长。这道题想让我们做的事情，是把试烘换成数值仿真。

题目给的研究对象是一根长 25 cm、半径 2 cm 的圆柱形药材，初温 28 °C，初始干基含水率 2.55 kg/kg（也就是每 kg 干物质背着 2.55 kg 水——药材刚采下来时水灵得不像话）。数据方面：附件 1 给出烘干初期 4 小时内烘房温度与水分浓度的变化曲线，附件 2 给出 72 小时内药材半径从 2.000 cm 收缩到 1.198 cm 的实测规律。

四问层层递进，像一条设计好的主线任务：

flowchart TD
    A["圆柱药材<br/>25 cm × R 2 cm<br/>2.55 kg/kg 的含水量"] --> B
    subgraph S1["问题一 · 建框架"]
        B["预热平衡阶段 30 min<br/>常物性，温度场可独立求解<br/>有 Bessel 解析解当裁判"]
    end
    B --> C
    subgraph S2["问题二 · 升物性"]
        C["烘干全过程前 3 h<br/>变物性，温度-水分双向耦合<br/>Picard 迭代线性化"]
    end
    C --> D
    subgraph S3["问题三 · 拉时间"]
        D["模拟到烘干合格<br/>各处 C ≤ 0.15 kg/kg<br/>反演最短烘干时长"]
    end
    D --> E
    subgraph S4["问题四 · 修几何"]
        E["计入失水收缩<br/>区域随时间缩小<br/>移动边界问题"]
    end

我当时的理解：这是一道「正问题 + 判定问题」的组合

去年 B 题是逆问题——光谱数据已经躺在表格里，难的是从条纹间距把厚度「抠」出来，而且要命的是 $n_1 d$ 简并：折射率和厚度缠在一起，分开它们全靠折射率的先验。今年 A 题完全反过来：

模型是正的：控制方程、边界条件、初始条件全部已知，物性参数由赛题附录的经验公式给定，不存在「从数据反演物理」的环节；
难点在数值：热扩散系数量级 $10^{-7}\ \mathrm{m^2/s}$ ，水分扩散系数只有 $10^{-10}\sim10^{-9}\ \mathrm{m^2/s}$ 且随失水指数衰减——温度场几十分钟就平衡，水分场要跑好几天，这种刚性（stiff）多尺度结构要求时间离散无条件稳定；
判定要连续化：问题三的「烘干时间」不是某个采样点，而是 $\max_r C(r,t)$ 穿越 0.15 的精确时刻，需要插值求根；
问题四埋了个真家伙：失水收缩让计算区域随时间缩小，这是货真价实的移动边界问题（Stefan 类问题的亲戚），处理不好要么网格重构做到天荒地老，要么边界通量算错还不知道。

去年复盘时我写过一句话：「条纹间距只能确定 $n_1 d$ 这个乘积」。今年的等价句是：「烘干时间由最慢的那个点决定，而最慢的点永远在中心」——所以任何「平均含水率达标」的偷懒判据都会系统性低估工期。这句话后来成了问题三的关键结论之一（平均口径会低估 37%）。

统一框架：热质耦合方程组

控制方程

四个问题共用同一副骨架。取圆柱轴线为 $r=0$ ，只考虑径向传递（长径比 12.5，端面面积仅占 7.4%，这个简化写进了假设 1），温度 $T$ 与水分浓度 $C$ 满足柱坐标下的抛物型方程组：

\rho c_p\,\frac{\partial T}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(k\,r\,\frac{\partial T}{\partial r}\right),\qquad \frac{\partial C}{\partial t}=\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial r}\!\left(D\,r\,\frac{\partial C}{\partial r}\right)

中心对称、表面对流（Robin 边界）：

r=0:\ \frac{\partial T}{\partial r}=\frac{\partial C}{\partial r}=0;\qquad r=R:\ -k\frac{\partial T}{\partial r}=h\,(T-T_a),\quad -D\frac{\partial C}{\partial r}=h_m\,(C-C_a)

物性参数是耦合的来源： $\rho$ 、 $c_p$ 、 $k$ 、 $D$ 全都随 $C$ 和 $T$ 变化（附录 3 给出 $D=2.4\times10^{-3}\,\mathrm{e}^{-0.45/C}\,\mathrm{e}^{-3850/T}$ 这样的双指数经验式），温度方程的系数依赖水分场，水分方程的扩散系数又依赖温度场——双向耦合，每个时间步内用 Picard 迭代解开。

先算特征数，再写代码

今年的第一个进步：没有急着建模，而是先算了一组无量纲特征数，让物理结构自己说话：

特征量	定义	数值	它在说什么
热扩散特征时间 $\tau_h$	$R^2/\alpha$	≈ 39.5 min	与预热阶段时长吻合
热毕渥数 $Bi$	$hR/k$	1.39	> 0.1，集总参数法失效，必须分布建模
质扩散特征时间 $\tau_m$	$R^2/D(C_0)$	≈ 22.5 h	水分扩散是全程控制步骤
传质毕渥数 $Bi_m$	$h_m R/D(C_0)$	3.24	> 1，内部扩散阻力占优
路易斯数 $Lu$	$D(C_0)/\alpha$	2.9 × 10⁻²	热比湿快约 34 倍

这张表的价值在于：它在写任何一行代码之前就预言了整道题的叙事结构——「预热快、干燥慢」的两阶段工艺不是经验玄学，是 $Lu \ll 1$ 的必然推论；问题三答案的量级应该贴着 $\tau_m$ 的倍数走（最终 57.93 h ≈ 2.6 个 $\tau_m$ ，自洽）。先让量级分析跑在代码前面，这是去年「错误互相抵消而不自知」教我的第一件事。

求解器内核：守恒型有限体积 + Crank–Nicolson + Picard

空间离散用守恒型有限体积法（控制体取圆环，面通量按 $2\pi r$ 加权，内部通量两两相消、只剩边界项——守恒性从格式层面白送），时间积分用 Crank–Nicolson（无条件稳定、二阶精度，刚性问题的刚需），非线性系数用 Picard 迭代半隐式处理。柱坐标 $r=0$ 的奇异性不特判：核心节点取半控制体 $[0, \Delta r/2]$ ，L'Hôpital 极限自动给出 $4D/\Delta r^2$ 的正确系数。三对角系统用 Thomas 追赶法 $O(N)$ 解掉。

核心循环长这样（约 170 行的 fv_cyl.py 是全项目的发动机）：

for n in range(nsteps):
    env_n, env_np1 = robin_env(t0, t1)
    env_cn = 0.5 * (env_n + env_np1)          # CN 折中环境值

    k_old, kf_old = faces(C)                  # 节点系数 → 界面调和平均
    F_old, A_old, B_old, G = explicit_F(C, kf_old, env_n)
    rhs = [C[i] + dt * (1.0 - theta) * F_old[i] for i in range(N + 1)]
    rhs[N] += dt * theta * G * env_np1        # Robin 边界隐式进主对角元

    Cnew = list(C)
    for m in range(max_picard):               # Picard：系数取最新迭代值
        _, kf_new = faces(Cnew)
        # …用 kf_new 重组三对角 lower/diag/upper…
        sol = thomas(lower, diag, upper, rhs)
        if max(abs(sol[i] - Cnew[i]) for i in range(N + 1)) < tol:
            break
        Cnew = sol
    C = Cnew

界面系数的调和平均（ $2k_Lk_R/(k_L+k_R)$ ）是个容易忽略的细节：变物性下相邻节点的扩散系数可以差出数倍，算术平均会高估界面通量，调和平均保正且与梯度同号——干壳边界层里这种差别会被放大。这个选择来自 Patankar 的经典教材，写代码前翻了书。

四问速通

问题一：让解析解当裁判

预热阶段物性为常数、温度场与水分场单向解耦——温度场是线性问题，可以独立求解，而且圆柱对流边界下存在 Bessel 级数解析解。这是出题人送的礼物：有解析解，就意味着数值格式可以被「审判」而不是「自夸」。

我们把数值解和解析解逐点对比，最大偏差不超过 $1.6\times10^{-4}$ 。30 min 末，药材中心升至 33.58 °C、表面 36.79 °C（环境温度 50 °C 附近，远未平衡）；失水集中在表层约 3.0 mm 的薄层里，体积平均含水率仅降约 10%——预热阶段确实主要是「热」的事，「湿」的故事才刚翻开扉页。

问题二：双向耦合，干壳登场

把 $\rho(C)$ 、 $c_p(C)$ 、 $k(C)$ 、 $D(C,T)$ 全部计入后，两个场真正缠在一起：每个时间步内交替更新物性与场量直到收敛。3 h 末温度场已接近均衡（ $Lu \ll 1$ 的预言兑现），水分场则呈现「表面先干、锋面向内推进」的标准剧情。两个值得记住的数字：

扩散系数随失水衰减约 17 倍（ $D: 1.34\times10^{-8} \to 7.98\times10^{-10}\ \mathrm{m^2/s}$ ）——越干越慢，干燥后期扩散能力近乎塌缩；
约 24 h 后表层结成干壳，干燥转入壳内缓慢渗流阶段。这就是现实中「外干内湿、品相报废」的定量图像，也是工艺上最怕的「干壳—湿芯」结构。

问题三：58 小时是怎么数出来的

以「各处水分浓度均降至 0.15 kg/kg 以下」为合格判据，把模拟拉长到 8 天。这里有两个今年做得比较认真的地方：

其一，判据用全场极值而不是平均值。 逐步扫描 $\max_r C(r,t)$ 并记录其位置（验证最慢点确实始终在中心 $r=0$ ），而不是用体积平均含水率偷懒。事后对比三种口径：表面达标 12.55 h、平均达标 36.69 h、处处达标 57.93 h——平均口径把工期低估 37%，排产按它来就是变成大事故了喵。

其二，终止时刻连续化。 57.93 h 不是某个时间步的标签：对 $\max_r C(t)$ 序列做 PCHIP 保形插值再二分求根，把穿越时刻确定到 $10^{-10}$ s（物理上没意义，但消除了「时间步抖动」这个噪声源）：

def crossing_time(ts, ys, level=0.15):
    # 定位首个低于 level 的采样点 k，取其邻域窗口
    xs, vs = ts[k-6:k+7], ys[k-6:k+7]
    f = pchip(list(xs), list(vs))          # 保形插值，不过冲
    a, b = ts[k-1], ts[k]
    fa = f(a) - level
    for _ in range(200):                   # 二分求根
        m = 0.5 * (a + b);  fm = f(m) - level
        if fa * fm <= 0.0: b = m
        else:              a, fa = m, fm
        if b - a < 1e-10: break
    return 0.5 * (a + b)

最终答案：烘干时间 57.93 h，约 2.4 天，落在题面「2–3 天」的工艺经验区间内。但今年的报告口径比去年成熟了一点——不只报一个数，而是三层口径：单值 57.93 h + 离散偏差区间 $[57.49, 57.93]$ h（网格收敛序列外推，宽 0.77%）+ 参数不确定度带 43–100 h（恒温段环境参数与扩散系数标定的 ±30% 扰动扫描）。

问题四：Landau 变换，今年写得最快乐的一段推导

问题四计入失水收缩：计算区域 $[0, R(t)]$ 随时间缩小，移动边界问题。标准做法是 ALE 动网格——但去年被「网格级工程债」教育过的我，今年一看到「动网格」三个字就想找解析出路。

引入材料坐标 $\xi = r/R(t) \in [0,1]$ 。关键一步是承认药材骨架本身在以 $v_s = (R'/R)\,r$ 作刚性收缩，水分总通量是扩散与随体对流之和：

\mathcal{N}=-\rho_d D\,\frac{\partial C}{\partial r}+\rho_d C\,v_s

代入守恒律并变换到 $\xi$ 坐标，展开后四项中含 $R'(t)$ 的部分——坐标变换附加对流、容量变率、随体对流贡献、随体通量散度——两两相消，最终得到一个漂亮到不像话的固定域方程：

\left.\frac{\partial \hat{C}}{\partial t}\right|_{\xi} =\frac{1}{R^2(t)\,\xi}\frac{\partial}{\partial \xi}\!\left(D\,\xi\,\frac{\partial \hat{C}}{\partial \xi}\right)

移动边界的全部几何信息被解析地吸收进标量因子 $R^2(t)$ ，不用动网格、不用插值映射，沿用前述守恒格式直接求解。与去年问题三那段「写得最快乐的 20 行波数差法」遥相呼应——每年都会有那么一个瞬间，推导自己收敛成一行，那种快乐是建模比赛的隐藏掉落。

离散时唯一需要甄别的是标度的不对称性：扩散电导 $\propto 1/R^2$ （容量随 $R^2$ 收缩），而表面 Robin 通量 $\propto 1/R$ （边界面积只随 $R$ 收缩）。混同二者， $R$ 收缩 40% 时边界阻力就被悄悄低估 40%，答案系统性偏快——而且这种错守恒检验不报警，因为我们靠移动边界与固定域两个独立内核的对算（偏差 $2\times10^{-14}$ ）才锁死了它。

# 电导  K_i(t) = coef_{i+1/2}*a_i / (R(t)^2*dxi)         ~ 1/R^2
# Robin KR(t)  = k_R*a_R / R(t)                          ~ 1/R（表面积~R、容量~R^2）
# 注意 Robin 项是 1/R 而非 1/R^2；误写成 1/R^2 会低估边界阻力。

问题四还有个反直觉的剧情：附件 2 的收缩数据与附录 4 的物性公式是两股方向相反的力。三算例定界显示——附录 4 的扩散系数整体明显偏小，单独作用时 120 h 内都烘不干（减速）；而半径收缩 40% 经 $1/R^2$ 因子把等效扩散能力放大约 2.8 倍（加速）。两股效应部分抵消后，烘干时间 51.53 h，较问题三缩短 11.0%。

全题结果一览

问题	核心方法	结果	校验
一	常物性解耦 + Bessel 级数对照	30 min 末中心 33.58 °C / 表面 36.79 °C，失水 10.1%	与解析解偏差 ≤ 1.6×10⁻⁴
二	变物性双向耦合 + 块迭代	3 h 时空分布； $D$ 衰减 17 倍，24 h 表层成干壳	72 h 窗口网格偏差 ≤ 0.065%
三	极值追踪 + PCHIP 连续化求根	烘干 57.93 h ≈ 2.4 天（平均口径低估 37%）	离散区间 [57.49, 57.93] h；不确定度带 43–100 h
四	Landau 材料坐标 + 三算例定界	烘干 51.53 h，较问题三提前 11.0%	移动/固定双内核对算偏差 2×10⁻¹⁴

全局守恒检验：质量残差 $8.7\times10^{-15}$ 、能量残差 $1.8\times10^{-11}$ ，贴着机器精度。

那个差点团灭的 bug：一条看不见的分数线

好了，上面都是光亮的部分。现在讲这场比赛真正的「剧情杀」。

赛题附录的扩散系数经验公式是 $D=7\times10^{-9}\,\mathrm{e}^{-0.89/C}$ ——指数里是分数， $C$ 在分母上。而代码里最初实现的是 7e-9 * exp(-0.89 * c)——分数线被读丢了， $C$ 从分母跑到了乘数上。

这两种写法在初始含水率 $C_0 = 2.55$ 处就差了近 7 倍，更要命的是物理趋势完全相反：

	分式形式（赛题原式）	乘积形式（错误实现）
$C$ ：2.55 → 0.15	$D$ 衰减约 17 倍，越干越慢	$D$ 不降反升，越干越快
物理图像	后期扩散塌缩，干壳形成	后期加速，干燥永不刹停
问题三答案	57.93 h ≈ 2.4 天	16.47 h

错误实现给出的 16.47 h 与题面「烘干一般持续 2–3 天」的经验提示正面冲突——正是这个矛盾逼着论文手回到赛题 PDF 原图逐字符核对，发现指数位置那条清晰的分数线。修正、重跑，全部口径一夜之间从「互相打架」变成「自洽闭环」。

为什么我要把这件事放在复盘的核心位置？因为它和去年的「案发现场」构成了一组完美的镜像：

去年：柯西系数张冠李戴（SiO₂ 的折射率算 SiC），级次低估的 1.75 倍恰好被折射率低估的 1.73 倍抵消，数字漂亮、模型全错，错误互相伪装成正确；
今年：公式少看一条分数线，物理趋势整个反转，但题面给出的「2–3 天」经验量级像警报器一样响了，矛盾拒绝被忽视，第三天之内就被抓住。

差别不在运气，在工作方式：今年我们刻意在流程里埋了「锚点」——题面的经验区间、Bessel 解析解、守恒残差、双内核对算——任何一个数字都必须同时让多个独立来源点头。去年的模型是一座「自圆其说的世界」，今年的模型更像一间「到处是监控的实验室」。16.47 h 如果出现在去年，大概率会被我们写进摘要然后高高兴兴交上去；今年它活不过一个晚上。

工程：把去年的七条反思逐条兑现

去年反思区的最后一条是工程债：四个复制粘贴的脚本、散落的魔法常数、print 出来给人看却不参与决策的 FFT 验证。今年交卷前的工程状态，可以直接和去年对照：

去年（一周后诊断出的病）	今年（开赛前就开好的药）
四份脚本两两 90% 相同	`q1`–`q4` 目录 + `common/` 统一实现，Thomas 追赶与 PCHIP 全项目各一份
假设清单是补写的装饰品	每条假设在论文里有编号、在灵敏度分析里有量化背书（如 $h$ 、 $h_m$ 扰动 ±50% → 烘干时间变化 ≤ 4.4 h）
「看起来合理」就采信	守恒残差 + 解析解对照 + 网格收敛阶 + 跨内核对算，四道闸门
FFT 验证只 `print` 不决策	网格收敛直接驱动生产网格选型： $N=80$ 高估烘干时间 55%、 $N=160$ 仍偏高，生产网格定为 $N=320$
结论与证据脱钩（「修正了多光束干涉」其实没有）	每个交付文件与生成脚本一一对应，写进论文附录的对照表；另有一份独立的代码审计报告
单位在 cm/μm/nm 间反复横跳	读取层统一 SI 单位，展示层才做格式化；开尔文防呆：`min(T) < 200` 直接 `raise`

倒不是说今年的工程就无懈可击——赛后的独立审计还是抓出了真问题，比如 Q2 与 Q3 的生产网格口径一度不一致（一个 100、一个 320，重跑脚本会得到与交付文件不同的结果）。区别是：今年的缺陷暴露在「复现一致性」层面，而去年暴露在「物理正确性」层面。两种债都要还，但前者顶多尴尬，后者致命。

AI Agent 来了，这场比赛变成了什么

今年规则里有一个变化：参考文献之前必须保留「AI 工具使用声明」一节，支撑材料里要附《AI 工具使用详情》。线上赛 + 三天 + 可联网。可见，AI 已经是每个队伍的「第四名队员」了。区别只在于你把它写成声明，还是假装它不存在。

成本结构：哪些能力在贬值

AI Agent 最先碾平的是「体力密度」高的环节：

文献与背景：去年查 SiC 红外色散的文献花掉小半天，今年中药材干燥动力学的综述、Fick 定律回归的惯例、Page 模型的谱系，一个下午就立起了参考书目；
工程杂务：LaTeX 排错、matplotlib 调参、xlsx 模板对齐——这些去年吃掉深夜的碎活，今年几乎不占预算；
初稿生成：代码骨架、图表脚本、文档模板，AI 的「从 0 到 0.6」快得惊人。

三天赛制里，省下来的每一个小时都会被重新投资到「从 0.6 到 1」的地方。这直接改变了比赛的产能曲线——今年我们有时间做网格收敛研究、不确定度量化和双内核对算，不是因为变强了，而是因为杂事被外包了。

判断力：哪些能力在升值

但 A 题这道题里，AI 恰恰在两个最关键的地方都可能翻车：

那条分数线。 $e^{-0.89/C}$ 与 $e^{-0.89C}$ 在 OCR、在复制粘贴、在「根据题意补全公式」的生成里都是高危误读。AI 不会自己发现物理趋势反了——它会觉得 16.47 h 也是个不错的数；
参数简并与张冠李戴。去年 $m/n$ 互相抵消的那种坑，本质是「多个错误伪装成一个正确答案」——AI 批量生产「看起来对」的中间结果时，这种伪装只会更高效。

所以人的位置变了：从「生产者」变成「审计员」。今年我们自己的实践就很说明问题——赛后那份代码审计报告的工作方式是 AI 式的独立复核：不采信项目文档的任何结论，直读赛题 PDF 公式原图、独立读取交付文件、跨问逐点比对、重跑关键数值实验。它抓出了网格口径不一致这种「跑对了、代码没对」的交付级缺陷。AI 最好的用法不是让它答题，而是让它当那个不困、不累、不讲情面的第二双眼睛。

未来评价：比赛会比什么

站在 2026 年往前看，我觉得数学建模这类线上赛的评价重心会不可避免地移动：

从「产出」转向「可辩护性」。当任何队伍都能三天产出一篇排版精美、图表专业的论文时，区分度只能来自：数字背后的证据链完不完整？守恒检验、收敛阶、不确定度、独立方法交叉验证——这些「自证清白」的构件会从加分项变成生存项。我们今年的「三层口径」报告（单值 + 离散区间 + 参数不确定度带）就是朝这个方向的努力。
题目设计会向「AI 易错点」倾斜。物理图像的判断（趋势反没反）、多源数据的一致性审计（附件 2 与附录 3 的失水速率其实有 2–3 倍出入，我们做了显式定量化而不是假装没看见）、经验公式的正确识读——这些需要「对真实世界有体感」的环节，会成为新的分水岭。
声明制度只是第一步。今天是「声明你用了什么」，明天可能就是「附上你的验证过程」甚至现场答辩、限时复现。当生成不再稀缺，验证就是新的硬通货。

至于「AI 会不会毁掉数学建模比赛」——我的答案和去年复盘的结尾是同一种诚实：工具从来只放大使用者的习惯。对一个习惯了「跑出个好看的数就交卷」的队伍，AI 会让这个习惯以更工业化的效率生产错误；对一个习惯了「每个数字都要被多个来源点头」的队伍，AI 是史上最有耐心的复核员。比赛筛选的从来都不是谁更会用工具，而是谁更值得被结果信任。

结语

去年的结语里我写：模型永远是对真实世界的粗糙近似，发现「运气撑住的梁」并换掉它的过程同样快乐。今年这根药材让我补上了下半句——把梁换成钢的最好时机，是比赛结束之前。那条差点被读丢的分数线、那组两两相消的随体对流项、那张贴着机器精度的守恒残差表，都是二周目玩家从一周目的废墟里捡回来的装备。

至于 AI 时代的建模比赛会变成什么样，我谨慎乐观：当「写」不再稀缺，「想清楚」和「验明白」反而会被重新定价。药材在 58 小时里把水分一点点交还给热风；我们在两个九月里把侥幸一点点交还给方法。烘干结束，判据达成，可以出炉了。

愿每一阵吹进烘房的热风，带走的都是被计算过的水分。(´｡• ᵕ •｡`)

论文与支撑材料清单

论文：《基于热质耦合模型的药材烘干过程模拟与烘干时间预测》（2026 年高教社杯全国大学生数学建模竞赛 A 题提交论文）
代码：q1/（常物性内核 + Bessel 对照 + 灵敏度）、q2/（变物性耦合求解 + 收敛与守恒检验）、q3/（极值追踪 + PCHIP 求根 + 不确定度分析）、q4/（Landau 变换移动边界内核 + 三算例定界）、common/（Thomas 追赶法与 PCHIP 统一实现）
数据：附件 1（烘房温湿度 0–4 h）、附件 2（半径收缩 72 h，145 点）
校验：质量守恒残差 8.7×10⁻¹⁵、能量守恒残差 1.8×10⁻¹¹、移动/固定双内核对算偏差 2×10⁻¹⁴、网格收敛序列 N=160/320/640
其他：代码审计报告、扩散系数公式修正说明、AI 工具使用详情（2026 新规要求）